1 引 言

高聚物粘接炸药（Polymer Bonded Explosive, PBX）作为一种结构件需承受一定的载荷作用，建立准确的PBX材料强度准则对于结构件的安全及可靠性评估至关重要。目前工程中常采用单轴强度（Uniaxial Strength）准则，即当材料第一或第三主应力到达单轴拉伸或压缩强度时即判别材料失效^[1]。但PBX材料服役环境处于复杂应力条件中，且围压对于压缩强度影响显著，简单的单轴强度准则显然不再适用，需要建立适用于复杂应力环境下PBX材料的强度模型。

复杂应力环境下强度模型数量众多^[2]，应用广泛的有Mises强度准则^[3]、Mohr‑Column强度准则^[3]、双剪强度（Twin Shear）准则^[4]、Drucker‑Prager（D‑P）强度准则^[5]等。Mises强度准则不能考虑静水压力的影响以及拉压异性的特性，不适于PBX强度准则的建立。美国洛斯阿拉莫斯实验室采用Mohr‑Column准则描述了PBX‑9501的破坏模型^[6]，国内唐维^[1,7,8]也采用Mohr‑Column强度准则建立了TATB基PBX的强度模型，但是该准则不能考虑中间主应力影响，且该准则屈服面含奇异点，并非处处正则。同时他采用双剪强度准则建立了TATB基PBX的强度模型，但该准则参数太多、形式复杂，且其预测精度也需进一步提高。D‑P强度准则克服了Mises准则不能考虑静水压力影响同时也克服了Mohr‑Column准则不能考虑中间主应力影响的弱点，得到了广泛的应用^{[5,8,9,10,11]}。唐维^[8]也采用D‑P强度准则建立了TATB基PBX的强度模型，但其描述精度有待进一步提高。该准则主要描述压剪区强度特性，为了压剪区和拉剪区的精确描述，需要对传统的D‑P强度准则进行修正。常用的修正方法是分段法^[10,11]，即拉剪区和压剪区分别进行描述，但是在接壤处易出现新的奇异点，且表达形式过于复杂。李平恩等^[11]采用双曲旋转面近似替代D‑P圆锥面以修正拉剪区，提出了双曲D‑P强度准则，又称D‑P‑Y强度准则，既能对拉剪区进行修正，且形式简单，也满足处处正则的要求，有望应用于PBX材料。

本研究采用自主研制的主动围压试验机开展不同温度不同围压下的TATB基PBX强度实验，然后基于不同围压下压缩强度以及单轴强度数据，分析传统D‑P强度准则以及双曲D‑P强度准则对于TATB基PBX材料的适应性。

图2 不同温度下TATB基PBX强度随围压变化曲线

Fig.2 Change in the strength of TATB‑based PBX with confining pressures at different temperatures

2 实验部分

2.1 实验方法

材料为TATB基PBX，中国工程物理研究院化工材料研究所制备，由TATB炸药晶体与F2314粘结剂通过等静压压制而成，然后机械加工为Φ20 mm×20 mm的圆柱体样品。

采用自主研发的主动围压试验机，开展了不同围压（0,2,4,6,8,10 MPa）不同温度（22.5,35，50 ℃）下TATB基PBX材料的准静态围压压缩实验，加载速率为0.5 mm·min^-1，获取其应力应变曲线。该机主动围压范围为0~30 MPa，精度1级，显示分辨率优于0.01 MPa；温度控制范围为环境温度至60 ℃，精度1级，显示分辨率优于0.1 ℃；轴向最大加载载荷30 kN，精度1级，分辨率1 N。

2.2 实验数据

不同温度下TATB基PBX材料的压缩应力-应变曲线的规律相似，因此仅展示50 ℃时不同围压下的压缩应力-应变曲线（见图1）。由图1可见，材料的压缩破坏强度随着围压的增加逐渐增大，且屈服段逐渐增长。提取不同围压不同温度下材料的压缩破坏强度，同时结合单轴拉伸和压缩实验数据，得到图2。由图2可知，其强度随着温度的升高逐渐下降，材料压缩强度随围压的增加呈线性增加。

图1 50 ℃时不同围压下TATB基PBX压缩应力-应变曲线

Fig.1 Compression stress‑strain curves of TATB‑based PBX under different confining pressures at 50 ℃

3 传统D‑P强度准则适用性分析

3.1 强度模型

传统D‑P强度准则^[5]表达式如下：

式中，α与k为D‑P强度准则参数。I₁为应力张量第一不变量，MPa，J₂为应力偏张量第二不变量，MPa²，其公式如下：

式中，σ₁、σ₂、σ₃分别为第一、第二、第三主应力，MPa。

当采用传统D‑P强度准则（式(1)）来描述TATB基PBX强度模型时，其参数确定方法有两种，一是通过单轴拉伸强度与单轴压缩强度数据来确定模型参数^[8]（D‑P criterion Ⅰ），另一种方法是根据压剪区数据进行线性拟合，即参数确定时不计单轴拉伸强度点^[10]（D‑P criterion Ⅱ）。不同温度下两种方法得到的强度模型参数如表1所示。

表1 不同温度下D‑P criterion Ⅰ和D‑P criterion Ⅱ参数

Table 1 Parameters of D‑P criterion Ⅰ and D‑P criterion Ⅱ under different temperatures

strength criteria	temperature / ℃	α	k
D‑P criterion Ⅰ	22.5	0.30	7.51
	35	0.29	6.48
	50	0.27	5.41
D‑P criterion Ⅱ	22.5	0.18	11.01
	35	0.17	9.12
	50	0.17	6.96

NOTE: α and k are the parameters of D‑P criterion.

不同温度下两种方法得到的强度模型屈服面在子午面 J 2 - I 1 上如图3所示，D‑P criterion Ⅰ描述误差随着围压的增大而增大，因此其不能准确考虑静水压力对于强度准则的影响；D‑P criterion Ⅱ物理意义更为明确，但传统D‑P准则作为Mohr‑Column准则的延伸，其主要为描述压剪区的强度模型^[11]，在拉剪区误差较大。

a. D‑P criterion Ⅰ

b. D‑P criterion Ⅱ

图3 传统D‑P强度准则屈服面

Fig.3 Yield surface of traditional D‑P strength criterion

3.2 误差分析

为定量表征强度模型的描述精度，采用相对误差和均方根误差来表示强度模型的预测误差。相对误差e_r表示为，

均方根误差 e σ 表示为，

式中， σ i t 表示实验获得的第一或第三主应力，MPa; σ i c 表示计算获得的第一或第三主应力，MPa;n为强度数据数量。

表2 不同温度下D‑P criterion Ⅰ和D‑P criterion Ⅱ预测误差

Table 2 Prediction error of D‑P criterion Ⅰ and D‑P criterion Ⅱ at different temperatures

temperature / ℃	D‑P criterion Ⅰ		D‑P criterion Ⅱ
	e σ / MPa	e r / %	e σ / MPa	e r / %
22.5	10.67	37.99	1.81	70.68
35	10.15	39.59	1.79	63.10
50	7.85	34.60	1.19	45.92

NOTE: e σ and e r are the root‑mean‑square error and maximum relative error of stress, respectively.

D‑P criterion Ⅰ和D‑P criterion Ⅱ的描述精度如表2所示，两种确定方法均不能令传统D‑P准则高精度地描述TATB基PBX强度特性。与此同时，传统D‑P强度准则在屈服面上存在奇异点（即三轴等拉点），不满足正定性条件。

4 双曲D‑P强度准则适用性分析

4.1 强度模型

双曲D‑P强度准则^[11]表达式如下，

式中，α与k物理意义与传统D‑P强度准则相同， m = 1 - α σ t k ,为小于1的正实数。本研究将表1中的强度实验数据采用式(5)通过Origin软件非线性拟合，得到各参数的数值，如表3所示，且其拟合精度均高于99.7%。

表3 不同温度下双曲D‑P强度准则的参数取值

Table 3 Values of variables in hyperbolic D‑P strength criterion at different temperatures

temperature / ℃	a	k	m	Adj.R‑S / %
22.5	0.09482	30.71334	0.96205	99.716
35	0.11836	18.98979	0.92298	99.804
50	0.14721	10.67875	0.83578	99.729

NOTE: α, k and m are the parameters of hyperbolic D‑P criterion. Adj.R‑S respects the fitting accuracy.

图4为采用双曲D‑P强度准则描述22.5 ℃、35 ℃以及50 ℃时TATB基PBX屈服面，由图4可知，双曲D‑P强度准则能很好地描述强度实验数据，并且随着温度的升高，其屈服面逐渐缩小。

图 4 不同温度下双曲D‑P强度准则屈服面

Fig.4 Yield surface of hyperbolic D‑P criterion at different temperatures

4.2 误差分析

双曲D‑P强度准则描述精度如表4所示，不同温度下预测结果最大相对误差为5.22%，最大均方根误差为0.44 MPa，远小于传统D‑P强度准则预测误差（见表2）。结果表明双曲D‑P强度准则能准确描述PBX材料的强度特性，验证了双曲D‑P强度准则在不同温度下对于TATB基PBX破坏应力预测的适用性。

4.3 传统D‑P与双曲D‑P强度准则对比

由于不同温度下材料强度准则屈服面规律相似，故取22.5 ℃时不同强度准则屈服面进行对比，如图5所示，式(1)中参数α在图中表示其斜率，参数k表示 I 1 = 0 时的截距，屈服线与x轴交点表示三轴等拉强度点。相较于传统D‑P强度准则，双曲D‑P强度准则能同时准确描述不同围压下的压缩强度以及单轴拉伸强度。

图5 22.5 ℃时传统D‑P与双曲D‑P强度准则屈服面对比

Fig.5 Comparison of the yield surface of traditional D‑P strength criterion and hyperbolic D‑P strength criterion at 22.5 ℃

4.4 间接破坏应力预测误差

采用唐维^[7,8]间接三轴压缩和拉伸破坏应力的数据进一步分析双曲D‑P强度准则对于TATB基PBX材料的适应性，其三轴破坏主应力及双曲D‑P强度准则预测结果如表5所示。

表5 TATB基PBX材料间接三轴破坏应力

Table 5 Indirect triaxial failure stresses for TATB‑based PBX material

	tested data[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]			calculated
	σ 1 /MPa	σ 2 /MPa	σ 3 /MPa	σ i c /MPa
compression	-4.699	-10.655	-51.047	-44.85
tension	7.5536	2.9774	0.6419	7.1813

NOTE: σ₁, σ₂ and σ₃ are the three principle stresses; σ i c = σ 1 c for tension and σ i c = σ 3 c for compression.

不同强度准则对于间接破坏应力预测误差如表6所示，双曲D‑P强度准则，虽对于间接压缩应力状态的预测误差稍大于Mohr‑Column强度准则和双剪强度准则，但是其误差仅为12.14%，依然满足工程需要，且对于间接拉伸应力状态的预测误差仅为4.93%，远优于其他四种强度准则，且满足正定性要求。

表6 应用不同强度准则预测间接破坏应力的预测误差

Table 6 Prediction error of different strength criteria for indirect breaking stress

strength criteria	number of undetermined variables	relative error of indirect compression/%	relative error of indirect tension/%
hyperbolic D‑P	3	12.14	4.93
traditional D‑P	2	29.1[7]	10.01
uniaxial	2	77.8[7]	16.9[8]
Mohr‑Column	2	10.5[7]	19.62[8]
Twin‑shear	5	10.9[7]	24.56[8]

5 结 论

（1）不同温度下传统D‑P强度准则预测得到的最大相对误差均大于30%，且最大已达到70.68%，不能满足工程需要。

（2）双曲D‑P强度准则在22.5,35,50 ℃下强度实验数据的预测相对误差最大分别为2.41%，3.46%和5.22%，均方根误差分别为0.42，0.38,0.44 MPa，优于传统D‑P强度准则；其对于间接三轴拉伸以及压缩破坏应力状态的预测，其误差为分别为4.93%和12.14%，总体上均优于传统D‑P、双剪、单轴强度、Mohr‑Column等四种强度准则。

（3）双曲D‑P强度准则适用于TATB基PBX材料强度模型的建立，满足工程需要。

参考文献