1 引言

在武器系统中, 高聚物粘结炸药(PBX) 部件除了具备固有的爆轰性能外, 常以承受载荷的结构件形式存在。在加工、装配、运输及使用过程中, PBX部件常处于复杂受力状态下, 可能会产生裂纹并有一定的扩展, 从而影响武器系统的可靠性与安全性。

小范围屈服下线弹性断裂力学认为, 裂纹尖端附近应力不可能趋于无穷大, 在裂纹尖端核心区域存在一定的屈服区。屈服区内材料发生屈服失效, 屈服区外材料依然满足线弹性断裂力学理论^[1]。本文研究的PBX材料拉伸过程没有明显的屈服阶段, 而裂纹尖端附近应力又不可能趋于无穷大, 因此认为裂纹尖端存在相对更小的失效破坏区域。在失效区内PBX材料发生力学失效, 失效区外材料依然满足线弹性断裂力学理论。美国阿拉莫斯实验室的Liu C等^[2-3]对PBX-9501和PBX-9502裂纹长期研究发现, 裂纹尖端附近存在较大的损伤区域(Damage Zone)。根据其关于裂纹尖端区域应变场的监测, 以及PBX-9502拉伸破坏应变(0.3%左右), 可以估计出PBX-9502裂纹尖端损伤区尺寸大约为3 mm。PBX-9502材料力学性能体现出较软的特点, 在其损伤区边界附近区域材料仍保有力学性能, 中心区域则出现材料力学失效, 即本文研究的裂纹尖端失效区。美国空军实验室Liu C T^[4-5]对另外一种颗粒填充复合含能材料(固体推进剂) 的裂纹研究也发现, 推进剂材料有相对更加明显的塑形力学特性, 其裂纹尖端区域塑性屈服区域非常明显。因此, PBX裂纹尖端失效区的理论研究具有一定的工程应用价值, 有助于更加深入认识PBX裂纹尖端附近核心区域特征。

PBX作为一类以高聚物粘接剂为连续相、高能炸药颗粒为分散相的非均质颗粒高体积填充的复合材料, 由于炸药晶粒、粘接剂和炸药-粘接剂界面的强度互不相同, 因此PBX力学行为表现出拉压不对称的特性^[6]。由于粘接剂材料力学性能受温度影响非常大, 在不同温度区间, PBX力学性能也有很大差异^[7]。因此, PBX裂纹尖端失效区研究一定要充分考虑材料拉压比和温度的影响。

根据断裂力学理论, PBX裂纹尖端失效区计算准确与否依赖于强度准则的选取。唐维等^[8-9]基于单轴加载技术, 从实验和数值模拟两个方面, 对比分析四种常用强度准则在炸药强度分析中的适用性。从描述精度来看, Mohr-Coulomb准则最优, Twin-shear和Drucker-Prager准则次之, 最大正应力准则由于不能体现出出材料拉压比的特点描述精度最差。王鹏飞等^[10]在对PBX厚壁结构件热应力破坏研究中, 对几种常用强度准则对比分析发现, Drucker-Prager准则综合考虑了拉压比、平均应力和偏应力对材料强度的影响。Drucker-Prager准则更适合于PBX炸药强度分析, 能描述PBX双轴拉伸强度比单轴拉伸强度略低的现象。

本研究基于Mohr-Coulomb、Twin-shear和Drucker-Prager三种强度准则, 计算了PBXⅠ型裂纹裂尖失效区。根据三种强度准则本身特点, 分析其在PBX裂纹尖端失效区计算中的适用性。利用Drucker-Prager准则的优点, 研究材料拉压比和温度对PBXⅠ型裂纹尖端失效区大小的影响。

2 强度准则

PBX材料具有明显的拉压强度不相等特性, 本文选取已经应用于PBX破坏失效分析中的强度准则, 即Mohr-Coulomb准则、Twin-shear准则和Drucker-Prager准则。表达式分别如下^[8]:

${\sigma _1} - \alpha {\sigma _3} = {\sigma _{\rm{t}}}$

(1)

${\sigma _1} - \frac{\alpha }{2}\left( {{\sigma _2} + {\sigma _3}} \right) = {\sigma _{\rm{t}}}\;\;\;\;{\sigma _2} \le \frac{{{\sigma _1} + \alpha {\sigma _3}}}{{1 + \alpha }}$

(2a)

$\frac{1}{2}\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2}} \right) - \alpha {\sigma _3}{\rm{ = }}{\sigma _{\rm{t}}}\;\;\;\;{\sigma _2} \ge \frac{{{\sigma _1} + \alpha {\sigma _3}}}{{1 + \alpha }}$

(2b)

$\left\{ \begin{array}{l} {\tau _8} + \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \alpha } \right)}}{{\left( {1 + \alpha } \right)}}\;{\sigma _8} = \frac{{2\sqrt 2 {\sigma _{\rm{t}}}}}{{3 + \left( {1 + \alpha } \right)}}\\ {\tau _8}{\rm{ = }}\frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {{\sigma _1} - {\sigma _2}} \right)}^2} + {{\left( {{\sigma _2} - {\sigma _3}} \right)}^2} + {{\left( {{\sigma _3} - {\sigma _1}} \right)}^2}} \\ {\sigma _8}{\rm{ = }}\frac{1}{3}\left( {{\sigma _1} + {\sigma _2} + {\sigma _3}} \right) \end{array} \right.$

(3)

式中, σ₁、σ₂和σ₃分别为第一、第二和第三主应力。材料破坏强度拉压比为$\alpha = \frac{{{\sigma _{\rm{t}}}}}{{{\sigma _{\rm{c}}}}}$, σ_t和σ_c分别为材料拉伸和压缩破坏强度。

3 裂纹尖端失效区 3.1 裂纹尖端附近应力场

平面应力状态下, Ⅰ型裂纹尖端区域主应力场为^[1]:

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _1}{\rm{ = }}\frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 + \sin \frac{\theta }{2}} \right)\\ {\sigma _2}{\rm{ = }}\frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 - \sin \frac{\theta }{2}} \right)\\ {\sigma _3} = 0 \end{array} \right.$

(4)

式中, r、θ为裂纹尖端附近点的极坐标, K_I为Ⅰ型裂纹应力强度因子。

平面应变状态, Ⅰ型裂纹尖端区域主应力场为^[1]:

当0≤θ < 2arcsin (1-2ν) 时

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _1}{\rm{ = }}\frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 + \sin \frac{\theta }{2}} \right)\\ {\sigma _2}{\rm{ = }}\frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 - \sin \frac{\theta }{2}} \right)\\ {\sigma _3} = \frac{{2\nu {K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2} \end{array} \right.$

(5a)

当2arcsin (1-2ν)≤θ < π时

$\left\{ \begin{array}{l} {\sigma _1}{\rm{ = }}\frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 + \sin \frac{\theta }{2}} \right)\\ {\sigma _2}{\rm{ = }}\frac{{2\nu {K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\\ {\sigma _3} = \frac{{{K_{\rm{I}}}}}{{\sqrt {2\pi r} }}\cos \frac{\theta }{2}\left( {1 - \sin \frac{\theta }{2}} \right) \end{array} \right.$

(5b)

式中, ν为材料泊松比。

3.2 Mohr-Coulomb准则失效区

对于平面应力, 将式(4) 代入式(1) 可推出裂纹尖端失效区矢径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {1 + \sin \frac{\theta }{2}} \right]^2}$

(6)

对于平面应变, 当0≤θ < 2arcsin (1-2ν) 时, 将式(5a) 代入式(1) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left( {1 - 2\alpha \nu + \sin \frac{\theta }{2}} \right)^2}$

(7a)

当2arcsin (1-2ν)≤θ < π时, 将式(5b) 代入式(1) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {1 - \alpha + \left( {1 + \alpha } \right)\sin \frac{\theta }{2}} \right]^2}$

(7b)

3.3 Twin-shear准则失效区

对于平面应力, 当$0 \le \theta < 2{\rm{arcsin}}\frac{\alpha }{{2 + \alpha }}$时, 将式(4) 代入式(2b) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}$

(8a)

当$2{\rm{arcsin}}\frac{\alpha }{{2 + \alpha }} \le \theta < \pi $时, 由式(4) 和式(2a) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {1 - \frac{\alpha }{2} + \left( {1 + \frac{\alpha }{2}} \right)\sin \frac{\theta }{2}} \right]^2}$

(8b)

对于平面应变问题, 当$0 \le \theta < 2{\rm{arcsin}}\frac{{\alpha \left( {1 - 2\nu } \right)}}{{2 + \alpha }}$时, 由式(5a) 和式(2b) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {1 - 2\alpha \nu } \right]^2}$

(9a)

当$2{\rm{arcsin}}\frac{{\alpha \left( {1 - 2\nu } \right)}}{{2 + \alpha }} \le \theta < 2{\rm{arcsin}}\left( {1 - 2\nu } \right)$时, 由式(5a) 和式(2a) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2}}{{2\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {1 - \frac{\alpha }{2} - \alpha \nu + \left( {1 + \frac{\alpha }{2}} \right)\sin \frac{\theta }{2}} \right]^2}$

(9b)

当$2{\rm{arcsin}}\frac{{\alpha \left( {1 - 2\nu } \right)}}{{2 + \alpha }} \le \theta < \pi $时, 恒有${\sigma _2} \le \frac{{{\sigma _1} + \alpha {\sigma _3}}}{{1 + \alpha }}$, 失径与式(9b) 一样。

3.4 Drucker-Prager准则失效区

对于平面应力, 将式(4) 代入式(3) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2{{\left( {1 + \alpha } \right)}^8}}}{{8\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {\frac{{2\left( {1 - \alpha } \right)}}{{1 + \alpha }} + \sqrt {1 + 3{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}} } \right]^2}$

(10)

对于平面应变, 将式(5a) 或(5b) 代入式(3) 可推出裂纹尖端失效区失径为:

$r = \frac{{K_{\rm{I}}^2{{\left( {1 + \alpha } \right)}^8}}}{{8\pi \sigma _{\rm{t}}^2}}{\cos ^2}\frac{\theta }{2}{\left[ {\frac{{2\left( {1 + \nu } \right)\left( {1 - \alpha } \right)}}{{1 + \alpha }} + \sqrt {{{\left( {1 - 2\nu } \right)}^2} + 3{{\sin }^2}\frac{\theta }{2}} } \right]^2}$

(11)

当材料拉压比α=1时, 式(10) 和(11) 退化为Von-Mises准则裂纹尖端失效区矢径。

对于Ⅰ型裂纹, 其裂纹失效区具有关于裂纹面对称的特点, 因此只需求出0~180°的失径, 180°~360°失径根据对称性可作出。

4 结果与讨论 4.1 三种强度准则适用性

基于Mohr-Coulomb、Twin-shear和Drucker-Prager三种强度准则计算的PBXⅠ型裂纹尖端失效区如图 1所示。Mohr-Coulomb准则比Twin-shear准则计算的裂尖失效区相对更大一些, 平面应力下这个差别更加明显。Drucker-Prager准则在考虑材料拉压比的基础上, 综合考虑了平均应力和偏应力的影响, 计算的裂尖失效区相对最大, 认为Drucker-Prager准则相对更适合PBX裂尖失效区的计算。比较图 1a和图 1b可以看出, 平面应力比平面应变下Ⅰ型裂纹尖端失效区相对更大。

4.2 拉压比的影响

为了研究材料拉压比对裂纹尖端失效区的影响, 利用Drucker-Prager计算了不同拉压比下裂纹尖端失效区, 如图 2所示。PBX材料拉压比约为0.3左右。

图 2给出了不同拉压比下, PBX裂纹尖端失效区大小。

材料拉压比对裂纹尖端失效区有着非常大的影响, 随着拉压比的减小, 失效区尺寸显著增大, 平面应变情形下这种增大趋势更加明显。比较图 2a和图 2b, 平面应变比平面应力失效区相对较小, 特别是在|θ|较小区域, 这种现象更加显著。

表 1给出当θ=0°时, PBXⅠ型裂纹尖端失效区无量纲失径rσ_t²/K_I²。表中数据可见, 随着材料拉压比的减小, 平面应变和平面应力下裂纹尖端失效区失径比明显增大。说明不断减小的拉压比对平面应变下失效区的影响更大。

4.3 温度的影响

本研究以TATB基某PBX为例, 基于Drucker-Prager强度准则, 在不同温度下, 计算平面应变下该炸药Ⅰ型裂纹尖端极限失效区。借鉴混凝土结构裂纹尖端塑性屈服区计算的材料参数选取^[11], 计算所需的相关材料参数见表 2。由于该型PBX的粘结剂玻璃化温度较低, 其高温条件下的断裂韧性和拉伸压缩强度均明显降低。

图 3给出了该PBX平面应变Ⅰ型裂纹尖端极限失效区区域。由图 3可见, 当θ=0°时, 常温20 ℃下, 该PBX裂纹尖端失效区失径约为0.61 mm。高温60 ℃下, 失效区失径约为0.95 mm, 失径显著增大, 这是粘接剂超过其玻璃化温度(T_g=35~55 ℃)^[12], 材料发生软化导致的。

5 结论

基于几种常用于PBX破坏分析的强度准则, 计算了Ⅰ型裂纹尖端失效区, 给出了反应材料拉压比性能差异的裂纹尖端失效区失径表达式。获得了以下结论:

(1) 基于不同强度准则计算的PBX裂纹尖端失效区差别很大, 选取适合PBX材料的强度准则非常重要。Drucker-Prager强度准则综合考虑了材料拉压比、平均应力及偏应力等因素, 计算的裂纹尖端失效区相对最大, 认为该准则更适合PBX裂纹尖端失效区求解。研究发现, 平面应力下比平面应变下裂纹尖端失效区相对更大。

(2) 材料拉压比对于裂纹尖端失效区影响非常大, 随着拉压比的减小, 裂纹尖端失效区明显增大。PBX属于典型的拉伸和压缩力学性能不对称的复合材料, 其裂纹尖端失效区计算需要充分考虑材料拉压比的影响。

(3) PBX材料断裂和力学性能参数受温度影响非常大。基于Drucker-Prager强度准则, 当θ=0时, 20 ℃下的裂纹尖端极限失效区失径为0.61 mm; 60 ℃下PBX裂纹尖端极限失效区失径为0.95 mm。裂纹尖端极限失效区在高温60 ℃下显著增大。