1 引言

弹射弹是战斗机火箭弹射座椅救生系统中的关键子系统，它的可靠性高低直接关系到飞机火箭弹射座椅的工作可靠性和应急情况下挽救飞行员生命的成功率。根据国军标GJB3686-1999^[1]的规定，在置信度为0.90情况下，弹射弹可靠度要求为0.999。在设计定型时，若按国军标GJB376-1987^[2]进行评估，需要进行2303次试验，且无一失效。由于试验是破坏性的，受费用、进度等因素的限制，在设计定型时不可能进行这么多的试验。实际工程中，一般先按门限值0.99的指标进行鉴定和验收，将来再进行数据积累。但是，由于受试验成本的限制，若采用GJB376规定的计数法来评估，往往连门限值也较难达到，常常造成产品不能按时设计定型。

实际上，研制方为了保证弹射弹达到要求的可靠性指标，在研制过程中进行了精心的设计、制造和大量的试验。GJB376规定的基于二项分布的经典统计方法忽略了这些过程试验信息，仅仅利用了鉴定时弹射弹试验数据，致使评估结果不能准确反映真实的可靠性水平。为了利用弹射弹过程试验数据，文献[3]针对试验数据零失效的特点，利用弹射弹单元试验数据和鉴定试验数据，通过先验分布的选择，进行了Bayes估计，较真实地反映了弹射弹的可靠性水平。但，在处理过程中把单元试验数据直接作为先验信息，没有考虑到单元试验数据与弹射弹试验数据之间的异总体特性对弹射弹可靠性评估结果的影响，导致该方法评估结果的可信性和实用性还有待提高。最近几年对Bayes估计中先验信息与现场试验信息异总体对可靠性评估结果的影响的研究，已经取得了一些进展^[4-6]，形成的评估方法适用于指标为0.99左右的产品的可靠性评估，可解决本文涉及到的弹射弹的门限值可靠性评估的问题。因此，本研究在前人成果的基础上，引入继承因子，提出一种基于混合先验分布的弹射弹Bayes可靠性评估方法，通过继承因子综合利用弹射弹单元试验数据和系统试验数据，使评估结果更符合实际。

2 基于混合先验分布的Bayes可靠性评估方法 2.1 传统的Bayes估计

基于Bayes理论的可靠性评估方法的思路是先收集系统试验之前的可靠性信息，把这些信息视为系统可靠性验前信息，然后根据系统现场试验数据，综合验前信息，对系统可靠性进行综合评估^[7]。

Bayes方法的关键在于利用先验信息确定先验分布，对于成败型试验的总体(二项分布)，工程应用中，先验分布通常是采用其共轭分布——Beta(R|a, b)分布，其密度函数为：

$ \pi \left( R \right) = \frac{{\mathit{\Gamma }\left( {a + b} \right)}}{{\mathit{\Gamma }\left( a \right)\mathit{\Gamma }\left( b \right)}}{R^{a - 1}}{\left( {1 - R} \right)^{b - 1}} $

(1)

式中，0 < R < 1，a, b为先验分布的超参数。超参数是利用先验信息确定的，本文的先验信息主要是指由弹射弹单元试验数据折算的弹射弹虚拟等效试验数据。

有了先验分布，取得了弹射弹鉴定试验数据(n, s)，n为试验数，s为成功数，f=n-s为失败数，可以得到后验分布Beta(R|a+s, b+f)，其密度函数为：

$ \pi \left( {R|s,f} \right) = \frac{{\mathit{\Gamma }\left( {a + b + s + f} \right)}}{{\mathit{\Gamma }\left( {a + s} \right)\mathit{\Gamma }\left( {b + f} \right)}}{R^{a + s - 1}}{\left( {1 - R} \right)^{b + f - 1}} $

(2)

关于总体的任何统计推断都是基于后验分布的。在可靠性评定问题中，置信度为γ的可靠度下限R_L由下式解出：

$ \smallint {\rm{ }}_0^{{R_{\rm{L}}}}\pi \left( {R|s,f} \right){\rm{d}}R = 1 - \gamma $

(3)

2.2 混合先验分布的确定

弹射弹的研制和定型存在一个从单元到系统的研制和试验过程。单元的可靠性信息直接反映和决定弹射弹可靠性。或者说，弹射弹的高可靠性是通过控制单元的可靠性和加工工艺水平来保证的。因此，对于弹射弹可靠性评估来说，单元可靠性信息是弹射弹可靠性的重要历史信息或先验信息，是弹射弹在考察和验证其可靠性水平时所进行试验不可缺少的补充，充分利用这些历史信息可以弥补弹射弹试验数量的不足。这些历史信息，与弹射弹试验数据相比，表现为既有联系，又有区别。为保守起见，一般认为弹射弹试验数据与历史信息来自两个不同的总体X和Y。为了尽量减少历史信息与弹射弹试验数据异总体对弹射弹可靠性评估结果的影响，同时又充分利用历史信息，可引入混合先验分布。对于成败型总体，其混合先验分布为^[5]：

$ {\pi _\rho }\left( R \right) = \rho \pi \left( R \right) + \left( {1 - \rho } \right)\;\;\;\;0 \le \rho \le 1 $

(4)

式中，ρ称为继承因子，(1-ρ)称为更新因子。

由式(4)可见，混合先验是由基于系统虚拟等效数据所得的Beta(a, b)与基于Bayes假设的(0, 1)上的均匀分布的Beta(a, b)加权和。继承因子反映了两个总体间的差异，或者说其可靠性方面的相似程度。

当ρ=1，认为两总体是完全相同的，此时混合先验π_ρ(R)就是共轭先验Beta(a, b)，也就是完全使用系统虚拟等效数据作为先验信息。

当ρ=0，认为两总体完全不同，此时混合先验π_ρ(R)就是[0, 1]上的均匀分布，也就是完全不用系统虚拟等效数据。

当0 < ρ < 1，是介于两者之间的情形，即：两总体是相似(或者说是相近)的，此时部分的使用系统虚拟等效数据中的数据信息。

所以，混合先验π_ρ(R)的使用是对经典统计方法和传统Bayes方法的合理折衷，综合考虑了各种情况，可以适用于更加广泛的范围，比共轭先验Beta(a, b)更加合理。

2.3 基于混合先验分布的Bayes估计

有了式(4)的混合先验，取得弹射弹试验数据(n, s)，就可以导出后验密度：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{\pi _\rho }\left( {R{\rm{|}}n,s} \right) = }\\ {\frac{{M{\rm{Beta}}\left( {s + 1,n - s + 1} \right) + N{\rm{Beta}}\left( {s + a,n - s + b} \right)}}{{M + N}}} \end{array} $

(5)

式中，$\begin{array}{l} M = \left( {1-\rho } \right)\beta \left( {a, b} \right)\beta \left( {s + 1, n-s + 1} \right);\\ N = \rho \beta \left( {s + a, n-s + b} \right) \end{array}$

由式(5)可见，后验密度π_ρ(R|n, s)也是两个后验密度的加权和。同样，对于可靠性评定问题，给定置信度后，可靠性下限R_L从式(6)解出：

$ \int {_{{R_{\rm{L}}}}^1{\pi _\rho }\left( {R|n, s} \right){\rm{d}}R = \gamma } $

(6)

由式(4)知，混合Beta先验带来了一个新的参数——继承因子ρ。ρ反映了系统虚拟等效数据与弹射弹试验数据在可靠性方面的相似程度。由系统论可知，单元的简单相加并不等于系统，经过数据等效处理后，如果由单元可靠性到系统的可靠性有较大的变动，则ρ的取值较小；反之，若单元可靠性能较好的反映系统的可靠性，则ρ的取值较大。所以，如何确定ρ的问题就十分重要。本文采用文献[5]给出的利用两样本的卡方拟合优度检验方法来确定继承因子ρ。

2.4 零失效数据的处理

弹射弹由于其可靠性要求高，其试验数据一般是零失效的，而且其虚拟等效试验数据也一般是零失效的，此时应用混合Beta先验分布的方法存在困难，因为用式(5)求后验分布时，M的值无穷大。针对这种试验数据都是零失效的情况，给出一种解决方案。

首先，假设系统虚拟等效试验数据为1失效，与零失效的弹射弹试验数据结合应用混合Beta先验分布的方法作出评估，结果为R_L，0 < R_L < 1，然后取(R_L, 1)上的均匀分布再作为R的先验分布，根据Bayes定理，系统可靠度R的后验分布为：

$ \pi \left( {R|n} \right) = \frac{{\left( {n + 1} \right)}}{{\left( {1-R_{\rm{L}}^{n + 1}} \right)}}{R^n}, \left( {{R_{\rm{L}}} < R < 1} \right) $

(7)

则R的置信水平为γ的单侧Bayes置信下限R_BL由式(9)确定：

$ \int {_{{R_{{\rm{BL}}}}}^1\pi \left( {R|n} \right)} {\rm{d}}R = \gamma $

(8)

由式(7)、式(8)可解得

$ {R_{{\rm{BL}}}} = {\left[{1-\gamma + \gamma \times R_{\rm{L}}^{n + 1}} \right]^{\frac{1}{{n + 1}}}} $

(9)

3 某弹射弹Bayes可靠性估计

某弹射弹由两个底火、一块点火药饼、一个药柱和弹壳等单元组成，如图 1所示。

这是一个成败型串并联混合系统。两个底火并联后，再和其他元件串联而成。在将单元试验数据折合为系统试验数据时，可先将并联部分作为一个子系统，求出该子系统折算后的数据，然后与其它元件构成一个串联系统。由于弹壳每个都要进行全面检查，保证内壁光滑，外壁无花纹，又采取退火等措施处理，可假设弹壳的可靠度为1。某弹射弹的各单元的试验数据为：点火药饼试验1510发，全发火；主装药试验141发，全发火；底火试验3474发，全发火。该弹射弹鉴定试验106发，全发火。如果仅仅利用鉴定试验数据，采用传统计数法进行评估，该弹射弹在置信水平为0.90下，可靠度下限达到了0.978，未达到门限值0.99。采用本文提出的方法对该弹射弹的可靠性进行了评估。

本系统的单元试验数据都是零失效的，其数据折合有如下定理^[8]。

定理1：一个串联系统由m个单元组成，其试验数据为(n_j, f_j), j=1, 2, …，m，其中f_j=0, j=1, 2, …，m，则等效于系统进行二项试验：$\left( {f, n} \right) = \left( {0, \mathop {\min }\limits_{1 \le j \le m} \left\{ {{n_j}} \right\}} \right)$。

该定理表明当对零失效数据进行折合时，取其单元中最小的试验量作为系统的等效试验量，这是一种保守的处理。对以上各单元试验数据进行折合，折合成系统等效试验数据为：N′=141，F′=0，其中N′为等效系统试验数，F′为等效系统试验失效数。

按2.4节中零失效处理方法，先设系统虚拟等效试验为1失效，等效虚拟数据数据为(141，140，1)，结合弹射弹试验数据(106，106，0)，应用混合Beta先验分布的Bayes方法计算得到R的置信水平为1-α=0.9的评估结果为R_L=0.9907(其中继承因子ρ=0.6204)。然后取(R_L, 1)上的均匀分布作为R的先验分布，计算得到R的置信水平为1-α=0.9的单侧Bayes置信下限为0.9922。

作为对比, 表 1给出了由3种不同评定方法所得到的评定结果。其中, 方法1是本文所提出的方法；方法2是经典方法^[2]；方法3是文献[3]中直接使用历史数据作为先验信息的贝叶斯方法。

从表 1中的结果可见，方法2仅利用了弹弹射弹鉴定试验数据，未利用先验信息，由它得到的可靠度下限最保守；方法3直接使用了历史数据，由它得到的可靠度下限最高，评定结果“冒进”的风险较大；本文方法(方法1)考虑了虚拟等效试验数据与鉴定试验数据总体的差异性，对先验信息的利用通过继承因子来反映两总体的差异性，评估结果介于二者之间。

4 结论

利用由单元试验数据折合成的虚拟等效试验数据和弹射弹鉴定试验数据，采用本文提出的Bayes可靠性评估方法，可推断出弹射弹的可靠性下限已达到0.9922，比传统方法提高了评估精度，可解决弹射弹设计定型时甚至连门限值都难以评估的问题。本文方法考虑了先验信息与现场样本可能来自不同总体的情况，引进了继承因子，较为合理地利用了历史信息，减少了弹射弹试验样本量。但该方法在计算上比经典方法和以Beta分布为先验分布的贝叶斯方法要复杂，并且，由于对先验信息的使用取决于先验信息与现场试验数据的相近程度，所以先验信息与评定结果间的关系不够直观。